3.987 \(\int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=303 \[ -\frac {\sin (c+d x) \cos ^2(c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\sin (c+d x) \cos (c+d x) \left (3 a^2 C-2 a b B+2 A b^2-b^2 C\right )}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )}+\frac {x \left (6 a^2 C-4 a b B+2 A b^2+b^2 C\right )}{2 b^4}+\frac {\sin (c+d x) \left (-3 a^3 C+2 a^2 b B-a b^2 (A-2 C)-b^3 B\right )}{b^3 d \left (a^2-b^2\right )}-\frac {2 a \left (3 a^4 C-2 a^3 b B+a^2 A b^2-4 a^2 b^2 C+3 a b^3 B-2 A b^4\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^4 d (a-b)^{3/2} (a+b)^{3/2}} \]

[Out]

1/2*(2*A*b^2-4*B*a*b+6*C*a^2+C*b^2)*x/b^4-2*a*(A*a^2*b^2-2*A*b^4-2*B*a^3*b+3*B*a*b^3+3*C*a^4-4*C*a^2*b^2)*arct
an((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(3/2)/b^4/(a+b)^(3/2)/d+(2*a^2*b*B-b^3*B-a*b^2*(A-2*C)-3*
a^3*C)*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2)/d+1/2*(2*A*b^2-2*B*a*b+3*C*a^2-C*b^2)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)/d-(A
*b^2-a*(B*b-C*a))*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.12, antiderivative size = 303, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 41, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.146, Rules used = {3047, 3049, 3023, 2735, 2659, 205} \[ \frac {\sin (c+d x) \left (2 a^2 b B-3 a^3 C-a b^2 (A-2 C)-b^3 B\right )}{b^3 d \left (a^2-b^2\right )}-\frac {2 a \left (a^2 A b^2-4 a^2 b^2 C-2 a^3 b B+3 a^4 C+3 a b^3 B-2 A b^4\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^4 d (a-b)^{3/2} (a+b)^{3/2}}-\frac {\sin (c+d x) \cos ^2(c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\sin (c+d x) \cos (c+d x) \left (3 a^2 C-2 a b B+2 A b^2-b^2 C\right )}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )}+\frac {x \left (6 a^2 C-4 a b B+2 A b^2+b^2 C\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2,x]

[Out]

((2*A*b^2 - 4*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*x)/(2*b^4) - (2*a*(a^2*A*b^2 - 2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + 3*a^4*
C - 4*a^2*b^2*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(3/2)*b^4*(a + b)^(3/2)*d) + ((2
*a^2*b*B - b^3*B - a*b^2*(A - 2*C) - 3*a^3*C)*Sin[c + d*x])/(b^3*(a^2 - b^2)*d) + ((2*A*b^2 - 2*a*b*B + 3*a^2*
C - b^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)*d) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Cos[c + d*x]^2*Sin[c +
d*x])/(b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2659

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2735

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*x)/d
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3023

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 2)), x] + Dist[1/(b*
(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x], x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3047

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(
c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + (c
*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*c*
d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)
))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3049

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e +
f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 2)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x]
)^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n + 2)
- C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2
, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx &=-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right )+b (b B-a (A+C)) \cos (c+d x)-\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{b \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac {\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-a \left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right )+b \left (2 A b^2-2 a b B+a^2 C+b^2 C\right ) \cos (c+d x)-2 \left (2 a^2 b B-b^3 B-a b^2 (A-2 C)-3 a^3 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac {\left (2 a^2 b B-b^3 B-a b^2 (A-2 C)-3 a^3 C\right ) \sin (c+d x)}{b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac {\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-a b \left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right )-\left (a^2-b^2\right ) \left (2 A b^2-4 a b B+6 a^2 C+b^2 C\right ) \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac {\left (2 A b^2-4 a b B+6 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^4}+\frac {\left (2 a^2 b B-b^3 B-a b^2 (A-2 C)-3 a^3 C\right ) \sin (c+d x)}{b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac {\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a \left (2 A b^4+2 a^3 b B-3 a b^3 B-a^2 b^2 (A-4 C)-3 a^4 C\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{b^4 \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac {\left (2 A b^2-4 a b B+6 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^4}+\frac {\left (2 a^2 b B-b^3 B-a b^2 (A-2 C)-3 a^3 C\right ) \sin (c+d x)}{b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac {\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (2 a \left (2 A b^4+2 a^3 b B-3 a b^3 B-a^2 b^2 (A-4 C)-3 a^4 C\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^4 \left (a^2-b^2\right ) d}\\ &=\frac {\left (2 A b^2-4 a b B+6 a^2 C+b^2 C\right ) x}{2 b^4}-\frac {2 a \left (a^2 A b^2-2 A b^4-2 a^3 b B+3 a b^3 B+3 a^4 C-4 a^2 b^2 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{3/2} b^4 (a+b)^{3/2} d}+\frac {\left (2 a^2 b B-b^3 B-a b^2 (A-2 C)-3 a^3 C\right ) \sin (c+d x)}{b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}+\frac {\left (2 A b^2-2 a b B+3 a^2 C-b^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.49, size = 208, normalized size = 0.69 \[ \frac {2 (c+d x) \left (6 a^2 C-4 a b B+2 A b^2+b^2 C\right )-\frac {4 a^2 b \sin (c+d x) \left (a (a C-b B)+A b^2\right )}{(a-b) (a+b) (a+b \cos (c+d x))}-\frac {8 a \left (3 a^4 C-2 a^3 b B+a^2 b^2 (A-4 C)+3 a b^3 B-2 A b^4\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {b^2-a^2}}\right )}{\left (b^2-a^2\right )^{3/2}}+4 b (b B-2 a C) \sin (c+d x)+b^2 C \sin (2 (c+d x))}{4 b^4 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^2,x]

[Out]

(2*(2*A*b^2 - 4*a*b*B + 6*a^2*C + b^2*C)*(c + d*x) - (8*a*(-2*A*b^4 - 2*a^3*b*B + 3*a*b^3*B + a^2*b^2*(A - 4*C
) + 3*a^4*C)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(3/2) + 4*b*(b*B - 2*a*C)*Sin[
c + d*x] - (4*a^2*b*(A*b^2 + a*(-(b*B) + a*C))*Sin[c + d*x])/((a - b)*(a + b)*(a + b*Cos[c + d*x])) + b^2*C*Si
n[2*(c + d*x)])/(4*b^4*d)

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 1.07, size = 1077, normalized size = 3.55 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/2*((6*C*a^6*b - 4*B*a^5*b^2 + (2*A - 11*C)*a^4*b^3 + 8*B*a^3*b^4 - 4*(A - C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + (2*A + C
)*b^7)*d*x*cos(d*x + c) + (6*C*a^7 - 4*B*a^6*b + (2*A - 11*C)*a^5*b^2 + 8*B*a^4*b^3 - 4*(A - C)*a^3*b^4 - 4*B*
a^2*b^5 + (2*A + C)*a*b^6)*d*x - (3*C*a^6 - 2*B*a^5*b + (A - 4*C)*a^4*b^2 + 3*B*a^3*b^3 - 2*A*a^2*b^4 + (3*C*a
^5*b - 2*B*a^4*b^2 + (A - 4*C)*a^3*b^3 + 3*B*a^2*b^4 - 2*A*a*b^5)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*co
s(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2
)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - (6*C*a^6*b - 4*B*a^5*b^2 + 2*(A - 5*C)*a^4*b^3 + 6*B*a^3*
b^4 - 2*(A - 2*C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 - (C*a^4*b^3 - 2*C*a^2*b^5 + C*b^7)*cos(d*x + c)^2 + (3*C*a^5*b^2 - 2*B*
a^4*b^3 - 6*C*a^3*b^4 + 4*B*a^2*b^5 + 3*C*a*b^6 - 2*B*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 +
b^9)*d*cos(d*x + c) + (a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)*d), 1/2*((6*C*a^6*b - 4*B*a^5*b^2 + (2*A - 11*C)*a^4*b^3
+ 8*B*a^3*b^4 - 4*(A - C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + (2*A + C)*b^7)*d*x*cos(d*x + c) + (6*C*a^7 - 4*B*a^6*b + (2*A
- 11*C)*a^5*b^2 + 8*B*a^4*b^3 - 4*(A - C)*a^3*b^4 - 4*B*a^2*b^5 + (2*A + C)*a*b^6)*d*x - 2*(3*C*a^6 - 2*B*a^5*
b + (A - 4*C)*a^4*b^2 + 3*B*a^3*b^3 - 2*A*a^2*b^4 + (3*C*a^5*b - 2*B*a^4*b^2 + (A - 4*C)*a^3*b^3 + 3*B*a^2*b^4
- 2*A*a*b^5)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (6*
C*a^6*b - 4*B*a^5*b^2 + 2*(A - 5*C)*a^4*b^3 + 6*B*a^3*b^4 - 2*(A - 2*C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 - (C*a^4*b^3 - 2*C
*a^2*b^5 + C*b^7)*cos(d*x + c)^2 + (3*C*a^5*b^2 - 2*B*a^4*b^3 - 6*C*a^3*b^4 + 4*B*a^2*b^5 + 3*C*a*b^6 - 2*B*b^
7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*d*cos(d*x + c) + (a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)*d)]

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 1.12, size = 376, normalized size = 1.24 \[ \frac {\frac {4 \, {\left (3 \, C a^{5} - 2 \, B a^{4} b + A a^{3} b^{2} - 4 \, C a^{3} b^{2} + 3 \, B a^{2} b^{3} - 2 \, A a b^{4}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {d x + c}{2 \, \pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (-2 \, a + 2 \, b\right ) + \arctan \left (-\frac {a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{\sqrt {a^{2} - b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{2} b^{4} - b^{6}\right )} \sqrt {a^{2} - b^{2}}} - \frac {4 \, {\left (C a^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - B a^{3} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + A a^{2} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )\right )}}{{\left (a^{2} b^{3} - b^{5}\right )} {\left (a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + a + b\right )}} + \frac {{\left (6 \, C a^{2} - 4 \, B a b + 2 \, A b^{2} + C b^{2}\right )} {\left (d x + c\right )}}{b^{4}} - \frac {2 \, {\left (4 \, C a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 2 \, B b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + C b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 4 \, C a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 2 \, B b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - C b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )\right )}}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 1\right )}^{2} b^{3}}}{2 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(4*(3*C*a^5 - 2*B*a^4*b + A*a^3*b^2 - 4*C*a^3*b^2 + 3*B*a^2*b^3 - 2*A*a*b^4)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi +
1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^2*b^4 -
b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) - 4*(C*a^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - B*a^3*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + A*a^2*b^2*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c))/((a^2*b^3 - b^5)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)) + (6*C*a^2 - 4*B*a*b
+ 2*A*b^2 + C*b^2)*(d*x + c)/b^4 - 2*(4*C*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 2*B*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + C*b*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^3 + 4*C*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - C*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 1)^2*b^3))/d

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.13, size = 845, normalized size = 2.79 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(d*x+c)^2*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^2,x)

[Out]

-2/d*a^2/b/(a^2-b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)*A+2/d*a^3/b^2/(a^2
-b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)*B-2/d*a^4/b^3/(a^2-b^2)*tan(1/2*d
*x+1/2*c)/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)*C-2/d*a^3/b^2/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*ar
ctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A+4/d*a/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+
1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A+4/d*a^4/b^3/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b
)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*B-6/d*a^2/b/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b
))^(1/2))*B-6/d*a^5/b^4/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*C
+8/d*a^3/b^2/(a-b)/(a+b)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*C+2/d/b^2/(1
+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*B-4/d/b^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C*a-1/
d/b^2/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C+2/d/b^2/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*
B-4/d/b^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C*a+1/d/b^2/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2
*c)*C+2/d/b^2*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*A-4/d/b^3*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*B*a+6/d/b^4*arctan(tan(1/2*d*x+1
/2*c))*a^2*C+1/d/b^2*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*C

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more details)Is 4*b^2-4*a^2 positive or negative?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 12.38, size = 10024, normalized size = 33.08 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((cos(c + d*x)^2*(A + B*cos(c + d*x) + C*cos(c + d*x)^2))/(a + b*cos(c + d*x))^2,x)

[Out]

(atan(-((((((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b
^12 - 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^1
0 + 6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) - (8*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8
*a^5*b^9 - 8*a^6*b^8))/(b^4*(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))
/b^4 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b +
12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^
3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 -
20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*
b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*
b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88
*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^
4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6
))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*1i)/b^4 - (((((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a
^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12 - 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*
b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 + 6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/
(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*(8*
a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9 - 8*a^6*b^8))/(b^4*(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^
6)))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))/b^4 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^
2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a
^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 -
32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a
^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^
9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20
*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^
8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3
+ 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*1i)/b^4)/(
(((((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12 - 20
*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 + 6*C*
a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2
)*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9
- 8*a^6*b^8))/(b^4*(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))/b^4 + (
8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*
a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 +
20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a
^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 1
6*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72
*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5
*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 -
40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6))*(C*a^
2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))/b^4 - (16*(108*C^3*a^11 + 8*A^3*a*b^10 - 54*C^3*a^10*b + 8*A^3*a^2*b
^9 - 12*A^3*a^3*b^8 - 4*A^3*a^4*b^7 + 4*A^3*a^5*b^6 - 48*B^3*a^4*b^7 - 24*B^3*a^5*b^6 + 80*B^3*a^6*b^5 + 16*B^
3*a^7*b^4 - 32*B^3*a^8*b^3 + 4*C^3*a^3*b^8 - 4*C^3*a^4*b^7 + 41*C^3*a^5*b^6 - 9*C^3*a^6*b^5 + 63*C^3*a^7*b^4 +
81*C^3*a^8*b^3 - 216*C^3*a^9*b^2 + 2*A*C^2*a*b^10 + 8*A^2*C*a*b^10 - 216*B*C^2*a^10*b + 80*A*B^2*a^3*b^8 + 52
*A*B^2*a^4*b^7 - 128*A*B^2*a^5*b^6 - 32*A*B^2*a^6*b^5 + 48*A*B^2*a^7*b^4 - 44*A^2*B*a^2*b^9 - 36*A^2*B*a^3*b^8
+ 68*A^2*B*a^4*b^7 + 20*A^2*B*a^5*b^6 - 24*A^2*B*a^6*b^5 - 2*A*C^2*a^2*b^9 + 37*A*C^2*a^3*b^8 - 5*A*C^2*a^4*b
^7 + 105*A*C^2*a^5*b^6 + 111*A*C^2*a^6*b^5 - 252*A*C^2*a^7*b^4 - 72*A*C^2*a^8*b^3 + 108*A*C^2*a^9*b^2 + 52*A^2
*C*a^3*b^8 + 52*A^2*C*a^4*b^7 - 96*A^2*C*a^5*b^6 - 30*A^2*C*a^6*b^5 + 36*A^2*C*a^7*b^4 - 3*B*C^2*a^2*b^9 + 3*B
*C^2*a^3*b^8 - 63*B*C^2*a^4*b^7 + 15*B*C^2*a^5*b^6 - 186*B*C^2*a^6*b^5 - 162*B*C^2*a^7*b^4 + 468*B*C^2*a^8*b^3
+ 108*B*C^2*a^9*b^2 + 24*B^2*C*a^3*b^8 - 6*B^2*C*a^4*b^7 + 168*B^2*C*a^5*b^6 + 108*B^2*C*a^6*b^5 - 336*B^2*C*
a^7*b^4 - 72*B^2*C*a^8*b^3 + 144*B^2*C*a^9*b^2 - 28*A*B*C*a^2*b^9 + 4*A*B*C*a^3*b^8 - 188*A*B*C*a^4*b^7 - 152*
A*B*C*a^5*b^6 + 360*A*B*C*a^6*b^5 + 96*A*B*C*a^7*b^4 - 144*A*B*C*a^8*b^3))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9
) + (((((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12
- 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 +
6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) + (8*tan(c/2 + (d*
x)/2)*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5
*b^9 - 8*a^6*b^8))/(b^4*(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))/b^4
- (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*
A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^
7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C
^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10
- 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6
+ 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C
*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^
6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6))*(
C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i))/b^4))*(C*a^2*3i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2) - B*a*b*2i)*2i)/(b^4*d)
- ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*B*b^4 + 6*C*a^4 + C*b^4 + 2*A*a^2*b^2 - 2*B*a^2*b^2 - 5*C*a^2*b^2 + 2*B*a*b^3 - 4*B*
a^3*b - 3*C*a*b^3 + 3*C*a^3*b))/((a*b^3 - b^4)*(a + b)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(6*C*a^4 - 2*B*b^4 + C*b^4 + 2
*A*a^2*b^2 + 2*B*a^2*b^2 - 5*C*a^2*b^2 + 2*B*a*b^3 - 4*B*a^3*b + 3*C*a*b^3 - 3*C*a^3*b))/((a*b^3 - b^4)*(a + b
)) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(6*C*a^4 - C*b^4 + 2*A*a^2*b^2 - 3*C*a^2*b^2 + 2*B*a*b^3 - 4*B*a^3*b))/(b*(a*b^2
- b^3)*(a + b)))/(d*(a + b + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(3*a + b) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(a - b) + tan(c/2 + (d*x)/2
)^4*(3*a - b))) + (a*atan(((a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^
2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16
*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8
*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 -
120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A
*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b
^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40
*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 +
b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6) + (a*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3
*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12 - 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^
13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 + 6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a
*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) - (8*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^
12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9 - 8*a^6*b^8)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b
^3 + 2*B*a^3*b))/((a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)*(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4)))*(2*A*b^4 - 3*C*
a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4))*(-(a + b)^3*
(a - b)^3)^(1/2)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b)*1i)/(b^10 - 3*a^2*b^8 +
3*a^4*b^6 - a^6*b^4) + (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a
*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^
2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^
2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120
*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*
a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7
+ 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*
C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^
9 - a^2*b^7 - a^3*b^6) - (a*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^
12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12 - 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13
- 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 + 6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^
11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) + (8*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12
- 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9 - 8*a^6*b^8)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3
+ 2*B*a^3*b))/((a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)*(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4)))*(2*A*b^4 - 3*C*a^4
- A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4))*(-(a + b)^3*(a
- b)^3)^(1/2)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b)*1i)/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*
a^4*b^6 - a^6*b^4))/((16*(108*C^3*a^11 + 8*A^3*a*b^10 - 54*C^3*a^10*b + 8*A^3*a^2*b^9 - 12*A^3*a^3*b^8 - 4*A^3
*a^4*b^7 + 4*A^3*a^5*b^6 - 48*B^3*a^4*b^7 - 24*B^3*a^5*b^6 + 80*B^3*a^6*b^5 + 16*B^3*a^7*b^4 - 32*B^3*a^8*b^3
+ 4*C^3*a^3*b^8 - 4*C^3*a^4*b^7 + 41*C^3*a^5*b^6 - 9*C^3*a^6*b^5 + 63*C^3*a^7*b^4 + 81*C^3*a^8*b^3 - 216*C^3*a
^9*b^2 + 2*A*C^2*a*b^10 + 8*A^2*C*a*b^10 - 216*B*C^2*a^10*b + 80*A*B^2*a^3*b^8 + 52*A*B^2*a^4*b^7 - 128*A*B^2*
a^5*b^6 - 32*A*B^2*a^6*b^5 + 48*A*B^2*a^7*b^4 - 44*A^2*B*a^2*b^9 - 36*A^2*B*a^3*b^8 + 68*A^2*B*a^4*b^7 + 20*A^
2*B*a^5*b^6 - 24*A^2*B*a^6*b^5 - 2*A*C^2*a^2*b^9 + 37*A*C^2*a^3*b^8 - 5*A*C^2*a^4*b^7 + 105*A*C^2*a^5*b^6 + 11
1*A*C^2*a^6*b^5 - 252*A*C^2*a^7*b^4 - 72*A*C^2*a^8*b^3 + 108*A*C^2*a^9*b^2 + 52*A^2*C*a^3*b^8 + 52*A^2*C*a^4*b
^7 - 96*A^2*C*a^5*b^6 - 30*A^2*C*a^6*b^5 + 36*A^2*C*a^7*b^4 - 3*B*C^2*a^2*b^9 + 3*B*C^2*a^3*b^8 - 63*B*C^2*a^4
*b^7 + 15*B*C^2*a^5*b^6 - 186*B*C^2*a^6*b^5 - 162*B*C^2*a^7*b^4 + 468*B*C^2*a^8*b^3 + 108*B*C^2*a^9*b^2 + 24*B
^2*C*a^3*b^8 - 6*B^2*C*a^4*b^7 + 168*B^2*C*a^5*b^6 + 108*B^2*C*a^6*b^5 - 336*B^2*C*a^7*b^4 - 72*B^2*C*a^8*b^3
+ 144*B^2*C*a^9*b^2 - 28*A*B*C*a^2*b^9 + 4*A*B*C*a^3*b^8 - 188*A*B*C*a^4*b^7 - 152*A*B*C*a^5*b^6 + 360*A*B*C*a
^6*b^5 + 96*A*B*C*a^7*b^4 - 144*A*B*C*a^8*b^3))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) - (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/
2)*(4*A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a
^3*b^7 - 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 6
4*B^2*a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^
4*b^6 - 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*
C*a*b^9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*
A*B*a^6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6
*b^4 - 48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 1
76*B*C*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6) + (a*(-(a + b)^3*(a - b)
^3)^(1/2)*((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^
12 - 20*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10
+ 6*C*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) - (8*a*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9 - 8*a^6
*b^8)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/((a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6
)*(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4)))*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^
3*b))/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4))*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 +
4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4) + (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*
A^2*b^10 + 72*C^2*a^10 + C^2*b^10 - 8*A^2*a*b^9 - 2*C^2*a*b^9 - 72*C^2*a^9*b + 12*A^2*a^2*b^8 + 16*A^2*a^3*b^7
- 20*A^2*a^4*b^6 - 8*A^2*a^5*b^5 + 8*A^2*a^6*b^4 + 16*B^2*a^2*b^8 - 32*B^2*a^3*b^7 + 20*B^2*a^4*b^6 + 64*B^2*
a^5*b^5 - 64*B^2*a^6*b^4 - 32*B^2*a^7*b^3 + 32*B^2*a^8*b^2 + 11*C^2*a^2*b^8 - 20*C^2*a^3*b^7 + 23*C^2*a^4*b^6
- 26*C^2*a^5*b^5 + 17*C^2*a^6*b^4 + 120*C^2*a^7*b^3 - 120*C^2*a^8*b^2 + 4*A*C*b^10 - 16*A*B*a*b^9 - 8*A*C*a*b^
9 - 8*B*C*a*b^9 - 96*B*C*a^9*b + 32*A*B*a^2*b^8 - 32*A*B*a^3*b^7 - 64*A*B*a^4*b^6 + 72*A*B*a^5*b^5 + 32*A*B*a^
6*b^4 - 32*A*B*a^7*b^3 + 20*A*C*a^2*b^8 - 32*A*C*a^3*b^7 + 36*A*C*a^4*b^6 + 88*A*C*a^5*b^5 - 100*A*C*a^6*b^4 -
48*A*C*a^7*b^3 + 48*A*C*a^8*b^2 + 16*B*C*a^2*b^8 - 40*B*C*a^3*b^7 + 64*B*C*a^4*b^6 - 40*B*C*a^5*b^5 - 176*B*C
*a^6*b^4 + 176*B*C*a^7*b^3 + 96*B*C*a^8*b^2))/(a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6) - (a*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1
/2)*((8*(4*A*b^15 + 2*C*b^15 - 4*A*a^2*b^13 + 12*A*a^3*b^12 - 4*A*a^5*b^10 + 12*B*a^2*b^13 + 12*B*a^3*b^12 - 2
0*B*a^4*b^11 - 4*B*a^5*b^10 + 8*B*a^6*b^9 + 6*C*a^2*b^13 - 16*C*a^3*b^12 - 14*C*a^4*b^11 + 28*C*a^5*b^10 + 6*C
*a^6*b^9 - 12*C*a^7*b^8 - 8*A*a*b^14 - 8*B*a*b^14))/(a*b^11 + b^12 - a^2*b^10 - a^3*b^9) + (8*a*tan(c/2 + (d*x
)/2)*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(8*a*b^13 - 8*a^2*b^12 - 16*a^3*b^11 + 16*a^4*b^10 + 8*a^5*b^9 - 8*a^6*b^8)*
(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/((a*b^8 + b^9 - a^2*b^7 - a^3*b^6)*(b^1
0 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4)))*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/
(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4))*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(2*A*b^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^
2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b))/(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4)))*(-(a + b)^3*(a - b)^3)^(1/2)*(2*A*b
^4 - 3*C*a^4 - A*a^2*b^2 + 4*C*a^2*b^2 - 3*B*a*b^3 + 2*B*a^3*b)*2i)/(d*(b^10 - 3*a^2*b^8 + 3*a^4*b^6 - a^6*b^4
))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)**2*(A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________